蛇口についているハンドル部分、固くなっていて閉まりがとても悪い状態でした。
さらにそこからポタポタと水が漏れていました。

ハンドル部分の使い勝手が悪くなってしまうのは水道あるあるです。
その理由は「摩耗」という現象が関係しています。
内部のネジ山の凹凸が嚙み合っているのが通常の状態なのですが、使用による摩擦でネジ山が変形してしまい凹凸がうまく嚙み合わなくなってしまうことがあります。
こうなってしまうと、いくらハンドルを回しても水やお湯が出ず空回りしてしまったり、今回のように開け閉めが固くなってしまったりするのです。